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このビデオでは、
部分分数展開、あるいは、
部分分数分解について
学びましょう。
いいですか?
全体的なアイデアは、有理関数は、
有理関数は、本質的には
ある数式を他の数式で割ることで表現されるもので
それらを展開したり、単純な部分に分解することができます。
実際の部分分数展開を始める前に
まず、行うことは、
分子を分母の次数より、
小さくすることです。
ここでは、この問題は、
この条件に合いません。
分子と分母は同じ次数です。
最初のステップはこれを簡素化し、
分子を分母より
低い次数にします。
これは、代数を用いて行えます。
以前のビデオで既に習っていますが、
復習しましょう。
分子を分母で割ります。
x^2−3x−40で、 x^2−2x−37を割ります。
どうでしょう?
x^2の項を見てください。
x^2にx^2は1度入ります。
x^2−3x−40をこれから減算すると
残りの部分が得られます。
減算すると、
いいですか?
これらをキャンセルします。
−2x+3xは、xです。
−37+40は、3です。
この式を書き換えると
1+(x+3)/(x^2−3x−40)です。
1+(x+3)/(x^2−3x−40)です。
いいですか?
4年生か5年生で習ったことと変わりません。
仮分数を
帯分数に変換するのと同じです。
少し例をここでやらせてください。
13/ 2 は、仮分数で、これを帯分数にするには
おそらく暗算できるでしょうが
分子を分母で割り、
ここでしたと同様に
2は 13 に何回はいりますか?
2 *6は12で、13−12は1です。
1 が残りの部分です。
残りの部分 1には、2は入りません。
これを書き換えると
分母は分子に6回はいるので、6+、
残りの部分で、
6 +1/2です。
小学校でした際は
6 1/2と書きましたが、これは6+1/2と同じです。
同じです。
分母は分子に 1 回入り、
つまり、1にx の残りの部分に加え、
1+(x+3)/(X^2−3x−40)です。
この有理方程式の分子は
分母より次数が低いです。
ここで、次数は 1、ここでの最高次数は 2です。
これで部分分数分解を開始する準備ができました。
ここでは、この式を取り
それを 2 つの簡単な式に変換し、
分子の次数を低くします。
では、この低い項を因数分解します。
いいですか?
どのような 2 つの番号は、 加算するとー3で、
掛けあわせると−40になりますか?
いいですか?
異なる符号の数字で、
乗算した際に、負が得られます。
−8と+5です。
これを書き換えると
1 +( x + 3 )/(x+5)(x−8)です。
5 *ー 8 は、−40です。
5−8はー 3、いいですか?
この部分に注目します。
1 がここにあることを
覚えておきます。
これが、分解または展開する式です。
2 つの単純な表現を展開するつもりです。
これらの式で、これらがそれぞれ、分母となります。
いいですか?
これを、展開あるいは分解し
2 つの分数にし、この分母のそれぞれが、
新しい分数のそれぞれの分母となります。
(x+5)と(x−8)がそれぞれの分母です。
a および b と解かれ、
実際に加えると、これになります。
つまり、この分数は完全に分解したことになります。
正確な用語かどうか
知りません。
とにかく、やってみましょう。
これら 2 つの項を加えると、何が得られますか?
何かを加える際、共通分母を見つけ
最も簡単なの共通分母で、
2 つの分母を乗算します。 これを書いてみましょう。
だから、a /(x + 5 )+b/(x− 8 )で
さて、共通分母は、
(x+5)(x−8)です。
a の項は、a /(x+5)は
a (x−8)/(x+5)(x−8)です。
ここに書くと、
これら 2 つの項をキャンセルし、a /(x+5)になります。
次に、共通分母で、
これは、b(x+5)になります。
いいですか?
この項は、この項と同じで、
(x−8)をキャンセルすると、これを同じです、
ちょうど(x+5)でキャンセルする場合と、同じです。
実際の共通分母なので、加算できます。
左側をここに書くと
a /(x+5)、失礼、
ここに記述したいと思います。
(x+3)/(x+5)*(x−8)
これらの 2 つ上の合計に等しいです。
a(x−8)+b(x+5)を
共通分母で割ったものです。
分母は、同じなので、
これを加算すると、これが得られるはずです。
a とb解決するには、
等式を設定します。
分母を無視できます。
x+3は、a (x−8)+b(x+5)です。
x+3は、a (x−8)+b(x+5)です。
2 つの方法で解けます。
いいですか?
一つは、中学の始めで習った方法で、
すこし時間がかかります。
早い方法もあり、
それで、先にやってみるのもいいです。
之を解決する場合、x を拾って
この項を消しましょう。
だから何の x でこの項がなくなりますか?
xがー 5なら、これは 0 になり、
b が消えます。
これを解くために、任意にx=ー5とし
これは、−5+3で
書いてみると、−5+3は、
a (−5−8)で、
−5−8で、+b(−5+5)です。
ー 5 を選んだのは、この式を0にするためです。
明るい色に変えて、 - 5 +3は、−2
これは、なんでしょう。−13a +
この 0です。いいですか?
それは 0 です。
ー5 +5は0で、0*bは0、
そこで、両辺を−13で割ると、ーがキャンセルされ、
2 /13 =a となり、同じことを行うをここで行うと
a の項をキャンセルするため、xを8とします。
X が 8 に等しい場合は、x+3=11で
これは、a*0+B(8+5)で、
13Bです。
B は 13 のように見えます。
11 =13Bに、13 で両方の側を割り、
Bは11/13 に等しいです。
AとBが解けました。
元の方程式に戻ることができます。
いいですか?
これは 2/13に等しく、
これは、11/13に等しいです。
これは、11/13に等しいです。
元に書いたのは、
分解でき、
1プラス、
2/13/(x+5)で
13を下ろして、
簡素化し、
11/13*(x−8)です。
13を下し、
この分母の一部とします。
この式が、分解されました。
必ずしも、簡素化されたと言えませんが、
ここでは、1 つの式だったのが、
ここでは、3つになりました。
でも、分子と分母の次数は減少しました。
では、なぜ、
これを行うのでしょう?
これを行うのでしょう?
たぶん 代数では行いません。
これは、実際に後に微積分を行うとき
有用な技術で、特に
微分方程式を解く際、簡単にできます。
ここで、馴染みのない用語、
積分またはの不定積分とか
言いますが、
後に、部分方程式の逆ラプラス変換を行うと、
逆ラプラス変換は、このような式で行う方が
はるかに簡単です。
とにかく、
有用なツールです。
さらにいくつかのビデオで、
もうすこし
部分分数展開の例を
扱ってみましょう。
扱ってみましょう。