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次の数は素数か合成数,あるいはどちらでもないかを見分けなさい.
次の数は素数か合成数,あるいはどちらでもないかを見分けなさい.
ちょっとおさらいですが,素数は自然数の一種です. ですから数を数えるときの数です.
1, 2, 3, 4, 5, 6, と続きます. そしてそのうちで2つの因数だけを持つものです.
その因数は 1 とそれ自身です.素数の 1 つの例は 3 です.
3 を割り切る自然数は 2 つしかありません: 1 と 3
言いかえれば,3 を他の自然数の積として示す方法は 1 × 3 だけです.
それは 1 とそれ自身だけです.
合成数は自然数の一種で 1 とそれ自身以外にも 因数を持つものです.
この例はここで見ることになるでしょう.
そしてそれ以外のものというのは,そういうものが あるのかどうか,何かちょっと興味がありますね.
24 について考えます.
全ての自然数,あるいは整数について考えます. ただし,0 は整数に含まれます.
全ての自然に数える時の数で,24 を余りなしで 割ることができる数について考えましょう.
これらは因数と言います.
明らかに,1 と 24 は割り切る数です. 実際に 1 × 24 = 24 です.
しかしこの数は 2 でも割り切れます.
2 × 12 = 24,つまりこれは 12 でも割り切れます.
これは 3 でも割り切れます. 3 × 8 = 24 です.
実は素数ではないことを示すためには, 因数を全てみつける必要はありません.
これは 1 とそれ自身以外にも因数を持つことは明らかです.
これは明らかに合成数です.
これは合成数になります.
せっかくはじめたので因数分解を終わらせましょう.
これは 4 でも割り切れます.4 × 6 = 24 です.
これで 24 の全部の因数がでました. 1 と 24 だけではないことは明らかです.
では 2 について考えましょう.
0 でない整数で 2 を割り切る数.
1 × 2 は確実に上手くいきます.1 と 2, しかしそれ以外に 2 を割り切る数はありません.
2 つの因数だけ,1 とそれ自身,があります.
これは素数の定義でした.ですから 2 は素数です.
ですから 2 は素数です.
2 は興味深いです.なぜなら, これは唯一の偶数だからです.
唯一の偶数の素数です.
これは考えてみれば常識的です.なぜなら,
偶数の定義によれば,それは 2 で割り切れるものです.
2 は明らかに 2 で割り切れます. それがこれを偶数とします.
しかしこれはまた 2 と 1 のみで割り切れます. それがこれを素数にします.
しかしどんなものでも偶数であれば, それは 1 と それ自身と 2 で割り切れます.
どんな他の偶数でも 1 とそれ自身と 2 で割り切れます.
したがって,定義により,1 とそれ自身と何か他の数で 割り切れるものは,合成数になります.
2 は素数です.2 以外の他の偶数は全て合成数です.
ここに興味深い場合があります: 1です. 1 は 1 でしか割り切れません.
1 は 1 のみでしか割り切れません.
ですからこれは厳密な解釈に従えば素数ではありません. なぜならそれは 1 のみを因数に持つからです. それは 2 つの因数を持ちません.
1 はそれ自身です.しかし,素数であるためには, 厳密に 2 つの因数を持たなくてはいけません. 1 は 1 つしか因数を持ちません.
合成数となるためには,2 つよりも多い因数を 持つ必要があります.1,それ自身,そして他の数.
ですからこれは合成数ではありません.
1 は素数でも合成数でもありません.
1 はどちらでもない数です.
最後に 17 があります.
17 は 1 と 17 で割り切れます.
それは2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, または 16 では割り切れません.
これは厳密に 2 つの因数を持ちます. 1 とそれ自身です.ですから 17 は素数です.