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絶対値を含む方程式問題をやってみましょう。
ちょっと復習しますが、数字の絶対値を
考えるとき
例えば、-1の絶対値の考えましょう。
絶対値の計算は
0からその数字までの距離を測ることになりますので
-1の場合では、数直線で表すと
あ、絵がへたくそですみません。
これが数直線、ここは0ですね。
-1はここですね。
0から1単位離れています。
つまり、-1の絶対値は1です。
1の絶対値も0から1単位離れていますので、
1に等しいです。
絶対値は0からの距離とのことで
けれど、もっと簡単に説明すると、
絶対値は常にその数字を正にして取り出した数です。
なので、-7,346の絶対値は7,346ですね。
それを覚えて、次の絶対値方程式を
解いてみましょう。
例えば、この方程式。
|x - 5 |= 10
これを解釈すると
xと5の間の距離は
10になります、ということですね。
では、5から10離れている数字は何個ありますか?
みなさんにはすぐ答えが分かると思いますが
ここでは方程式をゆっくり解いていこうと思います。
この式は二つの場合に成り立ちます。
x-5=10か
計算して10を得て、
それを絶対値にすると
10を得ることができます。
そして、x-5= -10の場合には、
x-5= -10
絶対値にするとまた10になりますので
つまり、x-5= -10というのも可能です。
どちらの場合でも成り立ちます。
これを解くには
方程式の両辺に5を足して
x=15という答えが出ます。
で、こっちを解くには、また両辺に5を足して
x= -5という答えが出てきます。
なので、答えとして、xの値は二つ
存在します。
xは15のときだと、
15-5=10、それを絶対値にして
10になりますね。もしくは、x= -5の場合だと
-5-5= -10
それを絶対値にすると、また10になります。
注意して欲しいのは、この二つの数字はどちらも5から
10、だけ離れているということです。
ではでは、次の問題に移りましょう。
つぎ~の問題っと。
例えばこの問題。
|x+2|=6
この方程式はどういう意味でしょうか。
それは、絶対値記号の中の “x+2”が
6に等しいということですね。
もしくは記号の中の “x+2”は
-6に等しい、ということを意味しています。
この“x+2”の部分が-6に等しければ
絶対値を取ったら6になります。
なので、x+2= -6
で、この方程式の両辺から2を引くと
x=4という答えが出ますね。
この方程式の両辺から2を引くと
x= -8という答えが出ます。
この二つが方程式の答えです。
覚えて欲しいのは
絶対値は「距離」で
この問題を
|x- (-2)|=6に書き換えることができます。
では、-2から6離れているときの
xの数値は何になるでしょうか。
さっきの問題で、5から10離れているとき
xの数値は何だったでしょうか。
どの数字を引いても
5から10だけ離れなければならないんですよ。
では、-2 から6離れているのは
何でしょうか。
答えは4か -8ですね。
以上の数字を使って試してみてくださいね。
他の問題やってみましょう。
次に行きましょう。紫色で行きましょう。
この絶対値問題|4x-1|を
ちょっと書き直します。
4x-1
|4x-1|=…
そのままにしよう。…=19
先ほどの問題と同じように、4x-1=…
…=19
もしくは、4x-1を計算して、 -19を得ます。
絶対値にするということで
また19を得ます。
もしくは、4x-1= -19
そして、この二つの方程式を解いて
この方程式の両辺に1を足して
まあ、同時にやってもいいですね。
この方程式の両辺に1を足して、4x= 20になりますね。
で、この方程式の両辺にまた1を足して
4x= -18というのが出てきます。
両辺を4で割って、x=5になります。
で、この方程式の両辺を4で割って
x= - 18/4になります。つまり - 9/2ですね。
この二つのxの値はどちらも方程式を満たせますよ。
やってみましょう。
- 9/2 × 4
- 18になりますね。
-18から1を引いたら -19になります。
で、絶対値にすると、19を得ることができます。
で、ここに5を入れて、4×5=20なので
1を引けば19になります。
で、絶対値にすると
また19を得られます。
ちょっとグラフを描いてみましょう。
y=|x+3|という式を
考えてみましょう。
これは絶対値の含んだ
関数、あるいはグラフです。
絶対値記号があるので、2通りに分けて考えてみます。
まずは、絶対値記号の中身が
正のとき。
つまり、えっと、ここに書きますね。x+3>0
のときです。
そして、x+3<0のとき。
x+3>0のときは、関数は
y=x+3 と
同じものになるということです。
この|x+3|というものものが>0だと
絶対値記号が要らなくなってしまうから、
この部分は、y=x+3
と一緒だと考えていいです。
では、x+3>0のときとは、どういう時でしょうか。
これを判断するには、両辺から3を引いて
x>-3のとき、ということが分かります。
なので、x>-3のとき、関数は
y=x+3の関数と同じものになります。
では次に、x+3<0のときを考えてみましょう。
絶対値記号の中身が負のときは
絶対値記号を外すときに正にする必要があるので
y=-(x+3)
となります。
というのも、
ここが負になるとき、つまり x+3 が負になるときは、
ここで私たちが仮定しているわけですけども、
この部分が負になるときには
絶対値記号を取り外す際に
正にして取り出さなければなりません。
つまり、-1を掛ければいいんです。
負のものの絶対値記号を外すときは
-1を掛ける、と。
だって(負)×(負)=(正)ですからね。
そして、こうなります。
x+3<0
両辺から3を引くと
x<-3となりますね。
だから、x<-3 のとき、関数は
このようになります。
x>-3のときには、
これですね。
では、実際に二つ合わせたグラフを
描いてみましょう。
軸を描いて、と。
これがx軸、そしてこれがy軸です。
この式を少し整理して書きなおしてみますね。
カッコをとります。
そうすると、y=-x-3 となりますね。
では、この式がどのような直線になるか
描いてみましょう。
-x-3なので
y切片は-3ですね、1、2、3、と。
-x というのは、右下がりに傾き-1の直線
を描きます。
なので、このような感じですね。
x切片を求めるには、
yが0のときを考えたらいいので、
x=-3ですね。
なので、y=-x-3は、この点と
この点を通ります。
ここにあるxの条件がなければ、
グラフはこのようになりますよ。
x軸上でのxの条件が何も
無い場合です。
では、この関数はどうなるでしょうか?
考えてみましょう。
y切片は3ですね。
こんなもんかな。
では、x切片は?
y=0の時なので、x=-3 となりますよ。
だから、この直線もこの点を通ることになって
傾きは1です。
こんな感じの直線になりますね。
こんな感じですね。
以上、ここで解いたのは、絶対値を含んだ関数の
グラフで、x<-3だと
この紫色のグラフになります。
で、x<-3だと
ここはx=-3ですね。
x<-3の場合は、この紫色のグラフのようになります。
ここですね。
x<-3のときはこうなります。
けど、x>-3だと
緑のグラフになります。
こんな感じです。
このグラフは、このVの形になります。
x>-3の場合、正数になります。
ここに右上がり傾きのグラフがあります。
けど、x<-3の場合だと
関数を負数にして
右下がりの傾きを得ることができます。
このようなVの形の関数グラフは
絶対値関数であることを
示している。