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この動画では、極限について学びます。これは非常に重要な考えです。
実際、この考えは、全ての微積分の基礎となっています。
ですが、その重要性とは裏腹に、実際はとてもとても単純な考えなのです。
では、関数を描かせてください。実際は関数を定義させてください。
やや単純な関数です。関数 f(x) = (x-1) / (x-1)
きみはこう言うかもしれません。「サルさん、分母と分子が同じだよ。
なにかの数を、その数で割ってたら、それはイコール1になるよ。単に、f(x) = 1に出来ないの?」
私はこう答えるでしょう。うむ、きみはほとんど正しい。だけど、f(x) = 1と、この関数の違いは、
これは、x = 1だったときに、未定義になるのです。なので、ちょっと描かせてください。なので、
f(1)だったら、何が起きるかな? 分子は、 (1-1)を得るので、それは、ちょっと描かせてくださいね。
分子は、0になるね。さらに、分母が(1-1)だと、こちらも0になります。
そして0を0で割ると、これは未定義になります。なので、これを単純化させて、f(x) = 1に出来るけど、
それだと、x はイコール1には出来ないという制約も必要になります。
これで、これとこっちは同値になります。両方とも1以外の値ならば、イコール1になるでしょう。
ただ、x = 1のときは未定義になります。こちらも未定義で、こちらも未定義。では、この関数をどうグラフにするでしょうか?
グラフを描かせてください。これは、わがy = f(x)軸で、こっちは、わがx軸です。
そして、ここが x = 1の点で、ここはx = -1、こっちは y = 1 で、こっちだと -1も描けるけど、
この関数とは特に関連しないです。では、グラフを描かせてください。
この関数は本質的に、このグラフは1以外のあらゆる値は、f(x) = 1なので、こんな風になるでしょう。1は例外にして。
1だとf(x)は未定義になりますので、ここを開けて小さな丸を描きます。これは未定義を意味します。
私たちは1だったときの関数は知りません。定義していないのです。
この関数は、1だったときを語っていません。なので、文字通り、x=1は、未定義なのです。
これが関数のグラフです。再び、誰かが f(1) だと何と尋ねたら、
きみはこう答えるでしょう。「ここが関数定義だ。x = 1 だったら...おっ、待ってくれ。我が関数のここに穴がある。
これは未定義だ」と。では、また描かせてください。これはちょっと重複するけど、再び描かせてくださいね。
f(1) は、未定義です。ですが、もし関数が x = 1 に近づいている数だったらどうでしょうか?
そして今、これが極限の考えに触れようとしています。なので、xは1に近づいて近づいて...
関数が近づいていったらどうでしょうか? この時間全体に、近づいて近づいていったら?
左側からでは、1にどれだけ近づいていっても、1、f(x) = 1にはなりません。
右側からでも同じです。きみはこう言うでしょう。
もっと例を出せば、きみもこの考えに馴染むでしょう。
limは、極限limitの短縮です。xが1に近づいていたら、f(x)はイコール、
これは、1に信じがたいほど、無限に近づいていくけど、決して1にはならないのを意味します。
そして、私たちの関数はイコール1になります。これは、1にどんどん近づいています。
これは実際には、時間全体で1になります。なので、この場合、f(x)の1に近づいている極限は、1だと言えるのです。
再び言いますが、これはとても奇妙な記法ですが、語っているのは単に、「見て、xが1に近づいていったら、
関数は何になっていくの?」
では、次はカーブの例をやりましょう。ここで基本の考えを得たように。
関数f(x)があるとします。ですが、多様のために、こちらはg(x)と呼ばせてください。
g(x)は、イコール、ここでこのように定義できます。これは、xが2で無いなら、x^2と定義できます。
ですが、x = 2だったときは、1になります。再び、これは面白い関数です。
見てのとおり、これは連続的ではなく、不連続です。ではグラフを描きましょう。
ここが、わが y=f(x)軸で、こっちはわが x軸。ここが、x=1で、こっちがx=2。
ここが -1で、ここが -2。つまり、x=2以外のすべてで、これはイコールx^2です。なので、そう描きましょう。
これはパラボラ型になります。こんな風に...こんな見た目で...
まだマシな風にパラボラを描かせてください。こんな感じに。
これは歴史上もっとも綺麗に描けたパラボラではありませんが、これでパラボラのように見えると期待します。
これは対称になります。再び、描き直します。これは見た目が悪いです。
こっちの方がいいですね。OK。よし。これでいこう。
これは、x^2のグラフですが、x = 2のときは、x^2になりません。なので再び、
x = 2のときは、少しだけ不連続にする必要があります。なので、ここに穴を開けます。
なぜなら、x=2のときは、関数はイコール1だからです。
同じスケールでは行いません。f(x) = x^2グラフでは、これは4になりますが、ここは2です。
ここは1で、ここは3でしょう。なので、x=2だったら、この関数はイコール1になります。
これは少し変な関数ですが、きみはこのような関数も定義できます。きみは好きなどんな関数も定義できるのですよ。
注目。これは、xが2以外のときのf(x) = x^2のグラフです。
2のときは穴があります。なぜなら、"g(x)=x^2"は使えず、"g(x) = 1"の方を使うからです。
この関数で、間違ってf(x)と言っていたら、それは謝ります。実際はg(x)のことです。
g(x)=1を使っていたら、それは正確に2で、1へと落ちます。そして、この関数はx^2を続けます。
ここでいくつかの問題があります。もし、g(2)を評価すると、
こっちの定義を見て、OK、x=2のときは、こっちの方を使う。
そして、これは=1と告げている。では、もう少し面白い質問をさせてください。
g(x)の2に近づいていく極限は何でしょう? 再び、奇妙な記法ですが、
これはとてもとても単純なことを尋ねているのです。これは、xが2にどんどん近づいていけば、
どんどん近づいた値を得る。そしてこれは、後の動画で見ますが、厳格な定義ではありません。
xが2に近づけば近づくほど、g(x)の値はどうなるでしょうか? たとえば、1.9だったら、1.999なら、1.999999なら、
1.99999999なら、g(x)はどうなるでしょうか? もし、正の方向から進むならば、
たとえば2.1だったら、g(2.1)はどうなるでしょうか? g(2.01)なら? g(2.001)なら?
2に近づけば近づくほど、値はどうなるでしょうか?
グラフを描くことで、視覚的に見ることができます。gが2に近づけば近づくほど、
グラフに従うならば、4の値に向かっていきます。
たとえ、関数がそちらになくてもです。関数が1に落ちたとしても、xが2に近づくg(x)の極限は
イコール4になります。きみは、電卓を使って調べることも出来るのですよ。
私にやらせてください。これは面白いと思うからです。なので電卓を使って、
わが親愛なるTI-85で、これが私の電卓です。
では、x=2に近づいていったら、どうなるでしょうか? 1.9だったら、x=1.9だと、
ここの上の節を使うので、1.9 ^ 2となり、答えの3.61を得るでしょう。
さらに2に近づいたらどうでしょうか? 1.99だったら、再び二乗したら、
答えは3.96でした。では、1.999を二乗したら?
3.996の答えを得ました。我々の点に近づいて近づいていることに注意。
ではとても近い、1.999999999999 ^2だと?
正確に4でした。この電卓は小数点を丸めています。なぜなら、実際に得た値はとてもとてもとても4に近いからです。
そして、私たちはこれを正の方向からも行えます。
そして、それは下からやった時と同じになるでしょう。
なので、 2.1 ^ 2をしたら、4.4の答えを得られます。
では、少し先に進みましょう。
2.0001の二乗だと、これは2にとても近いですね。4にとても近くなりました。
つまり、2に近い値であるほど、4の答えに近くなるのがわかります。
本題に戻ると、この数値的方法では、g(x)の両方から2に近づいてったら、
たとえ、正確に2だったら、非継続なので関数はイコール1だったとしても、
2に近づく極限では、4にどんどん近づいていくのです。