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このビデオでは計算(操作)の順序について
ちょっとお話しましょう.
ここではぜひ集中してもらいたいと思います.
なぜなら,数学では
本当に「全て」のことが
計算の順序に固く基づいて行なわれるからです.
ここで話すことは,そうですね.
計算(操作)の順序と言う時,何を意味しているのでしょう?
まずは例をやってみましょう.
ここでのポイントは,数学の表現は
一通りだけに解釈できるということです.
数学の表現を1つここに書きましょう.
7 たす 3 かける 5.
もし計算の順序が決まっていなかったら,
この表現には2つの解釈があります.
左から右へと単純に読むこともできます.
つまり,「7 + 3をまず計算しよう」 と言うこともできます.
7 + 3 を計算して,それに 5 をかけることができます.
7 + 3 は 10 です.
ですから,それに 5 をかけると,
10 x 5 で,それは 50 になります.
これがこの式を解釈する1つの方法です.
もし,私達が計算の順序を決めておかないと --
多分,単に左から右に計算するというのが -- ある意味自然な方法でしょう.
他の解釈もあります.あなたは,
「おや,私はたし算の前にかけ算をするのが好きです.」と言うかもしれません.
もしそうだとしたら,これは -- 色をつけてみますが --
7 + ... そしてまず 3 x 5 を先に計算します.
7 + 3 x 5 これは 7 +
3 x 5 は 15 なので,... 7 + 15 は 22 です.
ここに書いたことは,2つの異なった解釈を 持つことに気がつきました.
これは単に左から右にそのまま計算したものです.
たし算を計算して,そしてかけ算を計算しました.
こちらの方法では,かけ算を最初に計算し,
そしてたし算を計算しました. 私達は異なる2つの答えを得ました.
これは数学ではクールではありません.
もしこれが,たとえば何かを月に送る時に 必要なことだったら,
この表現を2人の人が違った方法で解釈する,
あるいは1つのコンピュータが1つ目の方法で,
もう1つのコンピュータがもう1つの方法で解釈したら--
ロケットは火星に行ってしまうかもしれません!
そうなると全く使えません.
だから私達は,計算の順序について
決めておかなくてはならないのです.
この表現をどう解釈するかについて 皆が認めなくてはなりません.
計算の順序について合意されていることは,
かっこを最初に計算することです.
-- ここに書いておきます --
「かっこ」が最初,そして指数,
もし指数が何のことか知らなくても,
今は心配する必要はありません.このビデオでは
例題に指数がでてくることはありません.
ですからこのビデオでそれについて 心配することはありません.
そして次にかけ算,--
ここでは単に「かけ(mult)」と かけ算(multiplication)を短かく書いておきます.
そしてかけ算と割り算を次に計算します.
これらには同じレベルの優先度があります.
そして最後にたし算とひき算を計算します.
さて,この例の計算の順序はどうなるでしょうか?
題をつけておきましょう -- こちらにあるものが,
計算の順序として皆が認めた(合意された)ものです.
もし私達が,この計算の順序を守れば,
私達は与えられた表現について
いつも同じ答えを得ます.これはどうなるでしょうか?
これを解釈するいちばん良い方法は何でしょうか?
そうですね.ここにはかっこはありません.--
かっこというのは,このようなものです.
これらの数字の回りにある小さな曲がったものがそうです.
ここではかっこは1つもありません --
かっこのある例はあとでいくつかやりましょう.
ここには指数もありません.
しかし,いくつかのかけ算と割り算はあります.
実はここにはかけ算だけあります.
計算の順序が言うには,
「かけ算と割り算を最初にせよ.」
つまり,かけ算を最初にする --
これはかけ算です.ですからこの計算を最初にします.
これはたし算とひき算よりも高い優先度を持っています.
ではこれを最初にする,ここには 3 かける 5 があります,
それは 15 です.そして 7 をそれにたします.
たし算とひき算 -- ここでやってみます.
ここには -- このように -- 実はたし算だけです.
かけ算を最初にしたので 15 になって,
それに 7 を加えると 22 です.
合意された計算の順序に基づくと,
こちらにあるのが正しい答えです.
この表現を解釈する正しい方法です.
もう1つ例をやってみましょう.
たぶんそうした方がもっとはっきりとわかることでしょう.
ピンクで例題を解いてみます.
7 + 3 があって,
- かっこをここにおきます -
かける 4 割る 2 ひく 5 かける 6.
あらゆる種類の難しいことがここにありますね.
しかし単に計算の順序にそって計算すれば,
これはきれいに単純に計算できます.
そして皆が同じ答えを得ることを期待しましょう.
では計算の順序に従って計算しましょう.
最初にすることは,かっこを探すことです.
ここにかっこがありますか? そうです,あります!
7 + 3 の回りにかっこがあります.
それ(計算の順序)は,「これを最初にしよう」 と言っていますから,7+3は 10です
そしてこれは簡単に,
- 単に計算の順序を見ていけば -
10 かけるここにある全部です.書き直す必要がないように
これをコピー・ペーストしておきます.
コピーして,ペーストします.
これで10 かけるこちら全部が簡単になりました.
最初にかっこを計算しました. では次は何をすべきでしょうか?
もうこの式にはかっこはありません.
では,次は指数を計算すべきです.
しかしここには指数はありません.
もし指数がどういうものか興味ある人のために,
指数というのは,こんなふうなものです.
-- 7 の2乗 --
小さな数が数の右肩に見えるでしょう.
ここには指数はありません.
ですから指数は心配することはありません.
そしてかけ算と割り算を次に計算すると言っています.
かけ算はどこにあるでしょうか --
ここにはかけ算,割り算, そしてかけ算がもう1つあります.
複数の計算(演算)が同じレベルにある時には,
この私達の計算の順序では, かけ算と割り算が同じレベルにある時には
-- 左から右へと計算します.
この場合,4をかけて,
そして2で割ります. 私達は 4 割る 2 (の結果を)をかけたりはしません.
次にここではひき算をする前に5 かける6を計算します.
では,それが何になるか考えてみましょう.
かけ算を最初に計算します.
かけ算を最初にする --
このかけ算を同時にすることもできます.
なぜなら,それによって答えは変化しないからです.
しかし私はここで順番に1つづつやっていこうと思います.
次のステップでは,私達はこの10 x 4 を計算します.
10 x 4 は 40 です.
そして 40 割る 2があります.
-- これをまたコピー・ペーストしましょう.--
するとここにあるものが簡単になります.
ここで注意することは,かけ算と割り算が,--
それらは厳密に同じレベルにあります --
そこで私達は左から右へと計算します.
これを 1/2 をかけたものとして考えることもできます.
その場合には順番は関係ありません.しかし簡単のために,
かけ算と割り算は左から右へ計算するとしましょう.
すると 40 割る 2 ひく 5 かける 6.
割り算 -- ここには1つの割り算があります.
あなたはやってみたいことでしょう.これは,--
この割り算とこのかけ算があります.
これは一緒ではありません.
ですから実はこれらを同時に計算することができます.
はっきりさせておきたいのですが, これはひき算をする前に計算することです.
なぜなら,かけ算/割り算はたし算/ひき算よりも 優先度が高いからです.
この周りにかっこを書いてもいいでしょう.
これは,「ちょっと見て,ひき算をする『前に』
ここを先に計算するよ」というしるしです.
なぜならかけ算/割り算が優先されるからです.
40 を 2 で割ると20です.
このマイナスの符号は次に持っていきます.
-5 かける 6 は 30 です.
20ひく30は-10に等しいです.
これが正しい解釈です.
ここで私がとてもとてもはっきりさせておきたいのは:
同じレベルに何かがある場合,
もし 1 + 2 - 3 + 4 - 1 がある場合,
たし算とひき算は同じレベルにあります.
計算の順序では,左から右へと計算すべきです.
これを 1+2 は 3 と解釈すべきです.
そしてこれは 3 - 3 + 4 - 1 と同じことになります.
そうしたら,3 - 3 は 0 で + 4, - 1.
あるいはこれは 4 - 1 と同じことです.
それは 3 と同じことですね.左から右へと計算する.
かけ算と割り算の全部が同じレベルにある場合も
同じです.
もし 4x2 割る 3 かける 2 があれば,
4x2 は 8 であり,それを3 で割って 2 をかける.
8 割る 3 は -- ここには分数がでてきました --
それは 8/3 です.そして8/3 かける2です.
8/3 かける 2 は 16/3 に等しい.
これこそがあなたが解釈する方法です. ここでかけ算を最初に計算して
それを全部2で割ったりはしません.
計算の順序で1つだけだらしなく計算して良い場合は,
「全部が」たし算か「全部が」かけ算の場合です.
もし 1+5+7+3+2 があった時には,
どういう順序で計算するかは関係ありません.
2+3 を計算することも;
右から左へと計算することもできます.
左から右へと計算することもできます.
どこか途中からはじめてもかまいません.
もしそれが,たし算だけしかない場合はです.
同じようにもし全部がかけ算しかない場合にもこれが通用します.
1 かける 5 かける 7 かける3 かける 2 があった時,
どのような順序でそれを計算するかは関係ありません.
これは全てがかけ算か全てがたし算の時だけです.
もし割り算がここにあったり, ひき算がここにあったりしたら,
あなたは単に左から右へと計算するのが良いでしょう.