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前回の動画で、行列同士を足していくのに
前回の動画で、行列同士を足していくのに
少し慣れたと願います。
なので今回は、行列同士を掛ける方法を学習しましょう。
そして注意しておくことは、行列の掛け算は、
人間が作った定義なのです。
私たちは、まったく違った方法で掛け算をすることもできます。
私たちは、まったく違った方法で掛け算をすることもできます。
ですが、私はこの方法で学ぶのを薦めます。なぜなら、これは数学のクラスで
助けとなるだろうからです。
そして、後に私たちは実際に多くの用途で
この種の行列の掛け算を見ることになるでしょう。
この種の行列の掛け算を見ることになるでしょう。
では、二つの行列を考えましょう。
2x2行列同士を掛けるのをやります。
では、ランダムな数値で、
2, -3, 7, 5
そして、この行列、あるいは数値の表に、次の行列を掛け合わせます。
10, -8,
12, -2
ここで強い誘惑があると思います。
これは非合法な誘惑ともいえないでしょう。
それは、足し算でやったように、単に掛け算を
関連する要素同士でやっていくことです。
なので、こう言う誘惑があると思います。 この最初の項1
あるいは1行目の1列目は
2 掛ける 10だよ。
そして次は、-3 掛ける -8
と続けていきます。
これは行列同士を足していくのにやりました。なので、
掛け算も同じようにやるのが自然な拡張だろう。
そしてこれは、非合法です。
誰かがこう定義することもできるでしょう。 ですがそれは、
現実の方法ではありません。
現実のやり方では、
残念ながら、もっと複雑です。
ですが、いくつかの例を見ていったら、
きみも理解できると思います。
そして、これは実際にはかなり
直接的だと学ぶでしょう。
では、どのように行うのでしょうか?
最初の項、1行目の1列目は、
イコール、本質的に1行のベクトルです。
この1行のベクトル、
掛ける、この列ベクトルです。
これは何を意味するのでしょうか?
これは、最初の行列の行から、行の情報を得て、
二つ目の行列の列から、列の情報を得るのです。
二つ目の行列の列から、列の情報を得るのです。
では、どのように?
もし、きみがドット積、内積に慣れていたら、これは本質的に
二つの行列のドット積です。
あるいは、この奇妙な言葉を使わないならば、単にこうです。
これは、2 掛ける 10、私は小さく書きますよ。 2 *10 +
2 *10 +-3 *12
書く場所が無くなりつつありますね。
そして、この二番目の項はどうでしょうか?
私たちはなおも、掛けるベクトルの1行目の行ですが、
今度は2つめの列に行きます。
私たちは、列の情報をここから得られます。
では、いい色を使いましょう。これは
少し違う紫色です。
では、これは、違った色でやりますが、
2 掛ける -8、ここに数を書かせてください。
2 * -8 = -16 、そして+ -3 * -2
-3 * -2 は何でしょうか?
答えは +6です。いいよね?
なので、1行目の2列目は、
-16 + 6
そして、下へと降ります。
今、私たちは2行目にいます。
今度使うのは、私たちは最初の行列から
行の情報を得ました。たぶん、きみは今、混乱しているし、
嫌な気分になっているでしょう。ですがこれから
いくつか例題をやりますから、いずれ納得できると思います。
この項、下の左側は、この行
掛ける この列です。
なので、7 掛ける 10 つまり 70 +
5 掛ける 12,つまり + 60
それから、下の右側の項は、7 掛ける -8
つまり56 + 5 * -2
つまり、-10
最終的には、2 * 10 = 20
-36、つまり -16。 -16 + 6 = -10
90 ... 私は何を言ってる?
これは70でしたね。 + 60 = 130
そして-56 - 10 = -66
これで答えが得られました。
私たちは単にこの行列に、こちらの行列を掛けたのです。
では、別の例もやってみましょう。
今度はこちらの側へと押し込みます。
これで、こちらは少しは綺麗に書けるでしょう。
今度は、1, 2, 3, 4の行列に、
5, 6, 7, 8の行列を掛けましょう。
今度は、ずっとスペースがあるので、綺麗に
書けるでしょう。
では、同じようにやっていきましょう。 なので、
この項、上の左側から、
あるいは1行1列の1の値から、
1行目の情報をここから取ります。 そして、1列目の
情報をここから取ります。
これで、きみはこれを行ベクトル
掛ける 列ベクトルと見れます。
なので、結果は
1 * 5 + 2 * 7
いいよね?
ここから進んで、
この項では、この行ベクトル掛ける
この列ベクトル。では違った色でやりましょう。
1 * 6 + 2 * 8
では、書いて行きましょう。
ここは、1 * 6 + 2 * 8
いいですか?
今度は、2行目に降ります。
私たちは行の情報を、この最初の行ベクトルから
この色で囲みましょう。
これは、3*5+ 4 * 7です。
いいですか?
それから、下の右側、つまり、
下の行の2列目です。
ここから、行の情報を得て、ここから
列の情報を得ます。
なので、
3 * 6 + 4 * 8
簡略化させると、ここは 5 +
いや、そのまま置いておきましょう。これらの数が
どこから来たかわかるようにです。
では、この緑色のからだよね?
この1 とこの2、この1とこの2
この1とこの2
いいね?
注記として、これらは最初の行からで、こちらも
最初の行からです。
では、この5とこの7は?
この5とこの7と、この5とこの7です。
これは面白いです。
これは、2つめの行列の1列目で、こちらは
結果の行列の1列目です。
同じように、この6とこの8、
この6とこの8はここで、この6とこの8は、
ここです。
最後に、この3とこの4はブラウンにして、
この3とこの4、この3とこの4はここです。
そして私たちはもちろん、これらを簡略化できます。
これは、1 * 5 + 2 * 7,つまり 5 + 14
答えは19です。
ここは、1*6 + 2*8, つまり 6 + 16
答えは22
ここは、3 * 5 + 4 * 7
つまり 15 + 28で、38...43。私の計算が正しいなら。
そして3 * 6 + 4 * 8
つまり、18 + 32 = 50
ここで質問させてください。結果の行列についてわかりました。
綺麗に書いていくと、
19, 22, 43, 50
ここで一つ質問をさせてください。
私たちが行列の足し算をしたとき、二つの行列は
どちらを先に足しても問題ありませんでした。
もしA + B、これらはどちらも行列としますよ、
これらがボールド体で書いた理由です。
これは、B + A でも同じです。
B + Aの加法定義によれば
なので、質問をさせてください。
二つの行列を掛けた場合、AB、これは
行列AとBを掛けたという意味ですが、これはBAと同じでしょうか?
行列AとBを掛けたという意味ですが、これはBAと同じでしょうか?
これは問題でしょうか?
行列を掛ける順番は問題でしょうか?
答えを言うと、それはとてつもなく問題です。
答えを言うと、それはとてつもなく問題です。
実際、ある特定の行列同士では一方では足しても、
もう一方からは足せないのもあります。
一方から掛けても、別の側からは掛けられないのです。
一方から掛けても、別の側からは掛けられないのです。
では、例を使って示しましょう。
これは、ほとんどの行列ですらそうなので、
これらの行列を別の順で掛けてみるのを薦めます。
これらの行列を別の順で掛けてみるのを薦めます。
実際、やってみましょう。
これだと、速やかに要点をきみに
証明できるでしょうから。
では、上の部分をすべて消しましょう。
いいですか?
ここをすべて消しましょう。実際、こちらも消します。
これで、この行列とこっちの行列を掛けた場合は
知ることができるでしょう。
では、順番を変えてみましょう。私は速やかにやりますよ。
きみを飽きさせないようにね。では、行列の掛け算の順番を
変えましょう。
これは、別の例として良いです。
この行列 5, 6, 7, 8にこの行列を掛けて、
私は単に順番を変えただけなので、 順番が問題かをテストできます。
1, 2, 3, 4
ではやりましょう。 ですが、すべての色とか色々とはやりません。
システム的にやっていきましょう。
きみは多くの例をここで見たと思います。
この最初の項は、行情報を最初の行列から、
列情報を、二つ目の行列から得られます。
なので、 5 * 1 + 6 * 3、つまり 5 * 1
では書いて行きましょう。 実際には編集ですが。
ここのステップは飛ばしますよ。OK。ここは、5 * 1
+ 6 * 3, プラス18
では2つ目の項はどうでしょう?
これは、5 * 2 + 6 * 4
5 * 2 = 10, そして+ 6 * 4 = 24
いいね、私たちは単にこの行とこの列を
掛けたのでした。
次は下へと降りて、この行
この下の左の要素は、
この行とこの列を使います。
なので、7 * 1 + 8 *3
8 * 3 = 24
最後に、この要素を得るのには、本質的には
この行にこの列を掛けるのです。なので、 7 *2 = 14,
+ 8 * 4, つまり、プラス32
なので、これは 5 + 18 は23, 34
7 + 24 は何でしょうか?
31ですね。ここは46。
ここで注意しましょう。私たちはこれをA行列、
こっちをB行列と呼びますよ。
最後の例で、A 掛ける Bは、イコール
19, 22, 43, 50
そして今示したとおり、順番を逆にして、
B 掛ける A は、実際には完全に違った行列になります。
なので、行列同士を掛け算をする順番は、
完全に問題なのです。
これで、時間が来てしまいました。
次の動画では、行列のタイプについて、もっと少し話そうと思います。
今回、行列の順番は問題になると知りましたね。
そして次の動画では、どのタイプの行列は
お互いに掛け算が出来るかを示そうと思います。
行列同士を足したり引いたりするときには、
同じ次元である必要があると言いました。
なぜなら、関連する項で足したり引いたりするからです。
ですが、掛け算をするときには、少しだけ違います。
そのことを次の動画で話そうと思います。
すぐに会いましょう。
以上、